Question

数学题！如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动

如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动，过D作∠ADE=45°，DE交AC于E        ① 求证  △ABD相似于△DCE        ②设BD=x AE=y 求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围       ③ 当△ADE为等腰三角形时，求AE的长

Answer 1

解：
①∵AB=AC ,∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ABC=∠ACB=45°=∠ADE
∵ ∠ADB=∠ACD+∠DAC
∠DEC=∠DAC+∠ADE
∴∠ADB=∠DEC
在△ABD与△DCE中
∠ADB=∠DEC，∠ABD=∠DCE
∴△ABD∽△DCE
②AB=AC=2
∴BC=2√2
∵ △ABD∽△DCE
∴AB：DC=BD：CE
∴2：（2√2 -x）=x：（2-y）
∴y=0.5x^2- √2 *x +2 (0≤x<2√2 )
③ △ADE为等腰三角形 分几种情况。
1）AE=DE 此时 AE=1 （这种是等腰直角三角形，比较简单）
2）AD=DE 此时 △ABD ≌△DCE
CE=BD=X
CD=BA=2
∴ CE=BD=X =CB-CD=2√2-2
∴ AE=4-2√2
3）AD=AE 这是D点在B点 AE=2
说明：如果D不能与B点重合，x的取值范围就不要x=0 第三问中就不能取D在B点的情况。

Answer 2

解答：
⑴∵△ABC是等腰直角△，∴∠B=∠C=45°，∴BC=2√2，
又∵∠ADE=45°，∴
①∠BDA＋∠BAD=135°，
②∠BDA＋∠CDE=135°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
⑵由上题结论得：
AB∶DC=BD∶CE，
∴2∶﹙2√2－x﹚=x∶﹙2－y﹚，
∴y=½x²－√2x＋2，﹙0≤x≤2√2﹚；
⑶分三种情况讨论：
Ⅰ：DA=DE：由第一题结论得：
AB∶DC=BD∶CE=AD∶DE=1，
代人解得：x=2√2－2，y=4－2√2，
即AE=4－2√2；
Ⅱ：AD=AE：则∠AED=∠ADE=45°，
∴∠DAE=90°，这时候的△ADE就是△ABC了；
Ⅲ：EA=ED：∠EAD=∠EDA=45°，∴∠DEA=90°，
∴这时候的△ADE是等腰直角△，
∴AE=DE=EC=1；
∴当△ADE为等腰△时，AE=4－2√2或1。