Question

数学题，第17题数列

Answer 1

(1)

a2=3a1-2=3×2-2=4

a2-a1=4-2=2

a(n+1)=3an-2

a(n+2)=3a(n+1)-2

a(n+2)-a(n+1)=3[a(n+1)-an]

[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=3，为定值

数列{a(n+1)-an}是以2为首项，3为公比的等比数列

a(n+1)=3an-2

a(n+1)-1=3an-3=3(an-1)

[a(n+1)-1]/(an-1)=3，为定值

a1=2，a1-1=2-1=1

数列{an-1}是以1为首项，3为公比的等比数列。

an-1=1·3ⁿ⁻¹=3ⁿ⁻¹

an=3ⁿ⁻¹+1

n=1时，a1=1+1=2，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=3ⁿ⁻¹+1

(2)

n=1时，1/a1=1/2<1

n≥2时，

1/an=1/(3ⁿ⁻¹+1)<1/3ⁿ⁻¹

1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an

<½+ ⅓+⅓²+...+⅓ⁿ⁻¹

=½+⅓·(1-⅓ⁿ⁻¹)/(1-⅓)

=½+½(1-⅓ⁿ⁻¹)

=1-½·(⅓)ⁿ⁻¹

½·(⅓)ⁿ⁻¹>0，1-½·(⅓)ⁿ⁻¹<1

1/a1+1/a2+...+1/an<1

综上，得：1/a1+1/a2+...+1/an<1，不等式成立