Question

高中数学问题

数列{an}的首项为1，既是等差数列，又是等方差数列。证明该数列为常数列

Answer 1

数列{an}是等差数列,则：a(n+1)-an=d
数列{an}是等方差数列,则：[a(n+1)]^2-(an)^2=p (d,p为常量)
所以：[a(n+1)-an][a(n+1)+an]=p
d*[a(n+1)+an]=p
假设该数列不是常数列，则d不等于0，
则：a(n+1)+an=p/d
an={[a(n+1)+an]-[a(n+1)-an]}/2=((p/d)-d)/2=常量，则：该数列为常数列
这与假设矛盾，假设错误
所以：该数列为常数列

Answer 2

设公差为d，得到：An=1+（n-1）d.
由题还有：an^2-an-1^2=q(常数)
得（2n-3）d^2+2d为常数。两边求导可得d=0.（如果还没学过导数，由关于n的线性函数为常数，也可得出d=0.