Question

解矩阵方程

解矩阵方程，A∧2＝A.B∧2＝E.写出具体过程加分。要详细且理由充分！
两个方程，点是句号，打的时候没切换输入法。

Answer 1

这是一个方程还是两个方程？A.B^2这个式子中间的点你想表示什么符号？

A、B均相似于对角矩阵D，即A~D1，B~D2，或A=P^(-1)D1P, B=Q^(-1)D2Q

证明：图片上传出错了。。。
简单的说：
（1）
由A^2=A，有A的特征值为0,1，设A为n阶，则：
属于0的线性无关的特征向量个数最大为n-r(0I-A)=n-r(A)
属于1的线性无关的特征向量个数最大为n-r(1I-A)=n-r(I-A)

又由A+I-A=I
A(A-I)=0
知：r(I-A)+r(A)=n
则A有n个线性无关的特征向量，即A相似于对角型
（2）
另B=Q^(-1)JQ, （其中J=diag(J1, J2 ……Jm)）B^2=Q^(-1)J^2Q=I, 则J^2=QIQ^(-1)=I
则任意i=1,2……m，有Ji^2=I，即Ji=I。因为若Ji≠I，则
Ji=（ji 1 0 0 0
0 ji 1 0 0
0 0 ji 1 0
…… ji 1
0 0 0 ji），则有Ji^2不等于I，矛盾。
得证。

追问

大神，我们还只刚学矩阵，还只了解到逆矩阵，看不懂啊。

追答

A、B均相似于对角矩阵D。
~这是这道题的出题目的。
要证明一般都要用特征值法的，你们没学肯定没法做啊。。。

你们学的是线代还是高代？你看看特征值、jordan标准型那两章就行了。

追问

线代