Question

设m次多项式f(x)=a0+a1x+...+am*x^m,设A=PYP^-1,证明f(A)=Pf(Y)p^-1

这是一道线代题，求答案...

Answer 1

当n=0、1、2.。。m，
A^n=(PYP^-1)^n
=PYP^-1PYP^-1...PYP^-1
=P(Y^n)P^-1
所以f(A)=a0E+a1A+a2A^2+...+amA^m
=a0PP^-1+a1PYP^-1+a2P(Y^2)P^-1+...+amP(Y^m)P^-1
=P[a0P^-1+a1YP^-1+...+am(Y^m)P^-1]
=P[a0E+a1Y+...+am(Y^m)]P^-1
=Pf(Y)P^-1

Answer 2

A=PYP^-1=P^1-1Y=P^0Y=Y
f(A)=f(Y)=P^0f(Y)=P^1-1f(Y)=Pf(Y)p^-1

f(A)=a0+a1A+...+am*A^m
=a0+a1PYP^-1+...+am*(PYP^-1)^m
=Pa0P^-1 +a1PYP^-1+...+am*(PYP^-1)^m
=Pa0P^-1 +a1PYP^-1+...+am*P^mY^mP^-m
=Pa0P^-1 +a1PYP^-1+...+am*P^m-mY^m
= Pa0P^-1 +a1PYP^-1+...+am*P^1-1^m
=PP^-1(a0 +a1Y+...+am*Y^m)
=PP^-1Pf(Y)