Question

高数 极限 求解!!!

http://zhidao.baidu.com/question/257275227.html?an=0&si=4
这道题我也很奇怪为什么不能用重要极限2来替换啊？下面有人解答说是因为：“1^∞叫做不定式，都有可能的”。。。可是我百度“1的正无穷”答案又都说是1。。。。。这到底哪个是对的啊？到底为什么不能用重要极限2替换啊？？？

Answer 1

你好！

首先，1^∞ =1是没错的
你想知道的是：
已知 lim<x→a> f(x) =1
那么： lim<x→a> [f(x)]^∞ = ?
一定不能将前一个极限直接代入而得到1，要具体情况具体计算

就拿最简单的 (1+ 1/x)^x，x→∞ 的极限来说
我们都知道答案是e
括号里面的极限是1，直接代入的话就变成了1^∞=1 ，错了

这是为什么呢？

事实上，在极限的运算中，（以A和B代表两个式子）
只有A和B的极限都存在时，才能使用极限的运算法则，即
只有A和B的极限都存在时，下列等式才成立：
lim(A±B)=limA±limB
lim(AB)=limA*limB
lim(A/B)=limA/limB
lim(A^B)=(limA)^(limB)

在你所说的题目中，A=括号里的，B=1/x
显然A的极限是1，B的极限不存在
所以不能直接替换

追问

哦。。。原来是这样，我就是没有注意“B的极限不存”在这个问题。。。。O(∩_∩)O~谢谢你~

Answer 2

1的无穷大次方是不定型，不是1，所以不能替换。只有当整个极限求出来，所有变量的值都确定了，才能替换，你如果将分子那部分替换了，外面还有1/x，那是不对的。

比如我们的重要极限：lim [x-->0] (1+x)^(1/x)，你不能只把括号里的极限用1代替吧？上面这个题道理是一样的。

当我们讨论1的无穷大次时，要搞清楚，这个1是真正的1，还是极限为1。如果是真正的1，那么结果为1，如果是极限为1，那就不一定了。