Question

过两圆交点的圆系方程

过两圆C1C2交点的圆系方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),其中不含有圆C2，因此注意检验C2是否满足题意以防丢解。
为什么？怎么检验来着？？？
高手在哪儿啊，急

Answer 1

已知圆A： x²+y²+D1x+E1y+F1 =0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，
方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0 …… ①,
当λ≠-1 时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A，但不能表示圆B；当λ=-1 时，若圆A与圆B相交，方程①表示圆A与圆B的公共弦所在的直线方程，当圆A与圆B相切时，方程①表示圆A与圆B的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果。

【例】求过两圆C1:X^2+Y^2-4X+2Y=0和圆C2:X^2+Y^2-2Y-4=0的交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程
【解】设两圆交点的圆系方程为：
x²+ y²-4x+2y+λ(x²+y²-2y-4)=0（不包括c2，且λ≠-1）
即(1+λ)x²+(1+λ)y²-4x+2(1-λ)y-4λ=0
圆心C：(2/(1+λ),(λ-1)/(1+λ))
因C在l上
故4/(1+λ)+4(λ-1)/(1+λ)-1=0
解之λ=1/3
即C:x²+ y²-3x+y-1=0

追问

怎么检验C2是否满足题意呢？

Answer 2

已知圆A：x²+y²+D1x+E1y+F1=0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，
方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0……①,
当λ≠-1时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A，但不能表示圆B；当λ=-1时，若圆A与圆B相交，方程①表示圆A与圆B的公共弦所在的直线方程，当圆A与圆B相切时，方程①表示圆A与圆B的公切线方程，当两圆相离时，方程①表示与两圆连心线垂直的方程，在解圆的有关问题，常常用到这一结论，可以起到事半功倍的效果。
【例】求过两圆C1:X^2+Y^2-4X+2Y=0和圆C2:X^2+Y^2-2Y-4=0的交点，且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程
【解】设两圆交点的圆系方程为：
x²+y²-4x+2y+λ(x²+y²-2y-4)=0（不包括c2，且λ≠-1）
即(1+λ)x²+(1+λ)y²-4x+2(1-λ)y-4λ=0
圆心C：(2/(1+λ),(λ-1)/(1+λ))
因C在l上
故4/(1+λ)+4(λ-1)/(1+λ)-1=0
解之λ=1/3
即C:x²+y²-3x+y-1=0