Question

如图所示,自二面角α-l-β外一点P,向二面角α-l-β的两个半平面α、β引垂线PA、PB，求证：

求证角APB与二面角的大小互补。

Answer 1

过A作AC⊥ l 交 l 于C、过B作BD⊥ l 交 l 于D。
∵PA⊥平面α，∴AC是PC在平面α上的射影，又AC⊥ l ，∴由三垂线定理，有：PC⊥ l 。
∵PB⊥平面β，∴BD是PD在平面β上的射影，又BD⊥ l ，∴由三垂线定理，有：PD⊥ l 。
∵过直线外一点只能作出一条直线与已知直线垂直，而PC⊥ l 、PD⊥ l ，∴PC、PD重合，
又C、D都在直线 l 上，∴C、D重合，∴∠ACB为二面角α－l－β的平面角。

∵l ⊥PC、l ⊥AC、PC∩AC＝C，∴l ⊥平面PAC。
∵l ⊥PC、l ⊥BC、PC∩BC＝C，∴l ⊥平面PBC。
∵过直线上一点只能作出一个平面与已知直线垂直，而过 l 上点C的平面PAC、PBC都与 l 垂直，
∴平面PAC、平面PBC重合，∴P、A、C、B共面，又PA⊥AC、PB⊥BC，∴P、A、C、B共圆，
∴∠ACB＋∠APB＝180°。
∴∠APB与二面角α－l－β的大小互补。