Question

高中数学 函数 奇偶性 这个为什么成立 怎么推导的？

Answer 1

f（x）是奇函数，那么f（-t）=-f（t），将t替换成x-1，就得到
f（-（x-1））=-f（x-1），即f（-x+1）=-f（x-1），这是f（x）是奇函数得到的等式。
至于f（-x+1）=f（x+1），这是f（x+1）是偶函数得到的等式。
所以合起来就是f（-x+1）=f（x+1）=-f（x-1）

追问

为什么要将t换成X-1呢

追答

你想把t换成任何式子都可以，反正是整体替换。
但是只有令t=x-1，才能从f（-t）=-f（t）得到f（-（x-1））=-f（x-1）来。
例如如果你是令t=x+1，那么从从f（-t）=-f（t）得到的就是f（-（x+1））=-f（x+1）
即f（-x-1）=-ff（x+1），但是这个对于推导f（-x+1）=f（x+1）=-f（x-1）这个等式没用。
所以你需要找到有用的替换。

追问

那我直接根据奇函数 f(-X)=-f(X) 原式：f(X+1) 令f(-X+1)=-f(X+1)不行吗

追答

f(-X+1)=-f(X+1)这个式子成立，说明f（x+1）是奇函数，而不是说明f（x）是奇函数。
所以从这里可以看出，你其实对奇偶数的定义不是很清晰。
所以你想走捷径，结果就走了岔道，走错了。
所以对于你这样概念还是不很清晰，有着很多误解的做题着，最好还是一步步来。
令h（x）=f（x+1），则h（-x）=f（-x+1）=-f（x+1）=-h（x）
所以说h（x）=f（x+1）是奇函数，而不是f（x）是奇函数。
简单的讲，f（x）是奇函数（或偶函数），则必须f（）括号下面的整个式子去相反数，则函数值是相反数（或相等）
而f（g（x））是奇函数（或偶函数），则是x去相反数，则函数值是相反数（或相等）。
所以f（-x+1）=-f（x+1），只能证明f（x+1）是奇函数，无法证明f（x）是奇函数。
而f（x）是奇函数，只能得到f（-（x+1））=-f（x+1），不能得到f(-X+1)=-f(X+1)

奇函数和偶函数的定义，都是针对自变量去相反数后，函数值和变化来的。
而一个函数式的自变量，只能说好一个字母表示的变量，不能是个式子。
所以在f(-X+1)=-f(X+1)中，x只能说好f（x+1）这个函数的自变量，而不能是f（x）的自变量。既然f(-X+1)=-f(X+1)是f（x+1）的的自变量取相反数后，函数值相反，那么当然就是f（x+1）是奇函数，而不是f（x）是奇函数了。

追问

好细致啊 你是老师吧😂

谢谢了

Answer 2

如果f(x)是奇函数，则有：f(-t)=-f(t)，
所以，f(-x+1)=f[-(x-1)]=-f(x-1)
不必理中间那一步。

追问

我就是你中间那一步没看懂啊。。😂

Answer 3

根据奇函数关于原点对称推出f（-x）=-f（x）

追问