Question

求函数z=f(x,y)=x^2-2xy-y^2在x^2+y^2=4下的最小值和最大值

Answer 1

z=f(x,y)
=x²-2xy-y²
=4(x²-2xy-y²)/(x²+y²)
=4[(x/y)²-2(x/y)-1]/[(x/y)²+1].
设x/y=t，代入上式整理得
(z-4)t²+8t+z+4=0.
上式判别式不小于0，
∴△=64-4(z+4)(z-4)≥0，
即-4√2≤z≤4√2，故
所求最大值为4√2，
所求最小值为-4√2.

也可以用三角代换法解答:
依约束条件可设
x=2cosθ，y=2sinθ.
代入函数f(ⅹ,y)得
z=4cos²θ-8cosθsinθ-4sin²θ
=4(cos²θ-sin²θ)-4·(2sinθcosθ)
=4cos2θ-4sin2θ
=4√2sin(π/4-2θ).
sin(π/4-2θ)=1时，
所求最大值为4√2;
sin(π/4-2θ)=-1时，
所求最小值为-4√2。