Question

f（x）＝3x^2＋1，（-π≦x＜π）展开成傅里叶级数。求详解。是否可以说函数为偶函数可以用余弦级数求解？

Answer 1

偶函数的Fourier级数必是余弦级数。

a0=积分（-pi到pi）f(x)dx/pi=2pi^2+2。

an=积分（-pi到pi）f(x)cosnxdx=12(--1)^n/n^2。

因此f(x)=pi^2+1+12求和（n=1到无穷）(--1)^ncosnx/n^2。

收敛性：

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值。

在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果只取右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

Answer 2

解：
f(x)＝3x²＋1(－π≤x＜π)为偶函数，应进行傅里叶余弦展开
设f(x)＝a0＋∑ancosnx，其中
a0＝1/π∫f(ξ)dξ （积分限：0到π）
＝1/π∫(3ξ²＋1)dξ＝1/π(π³＋π－0－0)＝π²＋1
an＝2/π∫f(ξ)cosnξdξ （积分限：0到π）
＝2/π∫(3ξ²＋1)cosnξdξ＝6/π∫ξ²cosnξdξ＋2/π∫cosnξdξ＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)＋2/(nπ)(sinnπ－sin0)＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ＝ζ，则
an＝6/(n³π)∫ζ²cosζdζ （积分限：0到nπ）
＝6/(n³π)∫ζ²dsinζ＝6/(n³π)(ζ²sinζ－∫sinζdζ²)＝6/(n³π)[(nπ)²sinnπ－0－2∫ζsinζdζ]＝－12/(n³π)∫ζsinζdζ＝12/(n³π)∫ζdcosζ＝12/(n³π)(ζcosζ－∫cosζdζ)＝12/(n³π)(ζcosζ－sinζ)＝12/(n³π)(nπcosnπ－sinnπ－0＋sin0)＝12/n²·cosnπ
∵当n为偶数时，cosnπ＝1；当n为奇数时，cosnπ＝－1
∴an＝12(－1)^n/n²
∴f(x)＝π²＋1＋∑12(－1)^n/n²·cosnx(－π≤x＜π)

Answer 3

对，偶函数的Fourier级数必是余弦级数。于是
a0=积分（-pi到pi）f(x)dx/pi=2pi^2+2，
an=积分（-pi到pi）f(x)cosnxdx=12(--1)^n/n^2，
因此f(x)=pi^2+1+12求和（n=1到无穷）(--1)^ncosnx/n^2。

Answer 4

你后面话的意思是对的，正确的表达是：因为Fx是偶函数，所以展成傅里叶级数的结果中只有余弦项。
具体做法：Fx=a0+a1cos(pi*x)+....
有具体公式的，我打不出符号...反正an=一个积分..我打不出式子，你就按公式走就行了。