大一高数微分方程求解
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3、y'-y=0的解为e^x,因此通解是Ce^x。再考虑y'--y=cosx的特解。
y=asinx+bcosx,y'=acosx--bsinx,y'--y=(a+b)sinx+(a--b)cosx=cosx,得
a+b=0,a--b=1,于是a=1/2,b=--1/2,故
微分方程的通解是y=Ce^x+0.5(sinx--cosx),再令x=0,y=0代入知道C=0.5,因此
解为y=0.5(e^x+sinx--cosx)。
4、y'+(1--2x)/x^2*y=1,即【(e^(--1/x--2lnx)*y】'=e^(--1/x--2lnx)(y'+(1--2x)/x^2*y)=e^(--1/x--2lnx)=e^(--1/x)/x^2=(e^(--1/x))',于是
通解为(e^(--1/x--2lnx)*y=C+e^(--1/x),即y=Ce^(1/x+2lnx)+e^(2lnx)=Ce^(1/x+2lnx)+x^2。
令x=1时,y=0代入得C=--1/e。故解为y=--e^(1/x+2lnx--1)+x^2。
y=asinx+bcosx,y'=acosx--bsinx,y'--y=(a+b)sinx+(a--b)cosx=cosx,得
a+b=0,a--b=1,于是a=1/2,b=--1/2,故
微分方程的通解是y=Ce^x+0.5(sinx--cosx),再令x=0,y=0代入知道C=0.5,因此
解为y=0.5(e^x+sinx--cosx)。
4、y'+(1--2x)/x^2*y=1,即【(e^(--1/x--2lnx)*y】'=e^(--1/x--2lnx)(y'+(1--2x)/x^2*y)=e^(--1/x--2lnx)=e^(--1/x)/x^2=(e^(--1/x))',于是
通解为(e^(--1/x--2lnx)*y=C+e^(--1/x),即y=Ce^(1/x+2lnx)+e^(2lnx)=Ce^(1/x+2lnx)+x^2。
令x=1时,y=0代入得C=--1/e。故解为y=--e^(1/x+2lnx--1)+x^2。
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