Question

第一小题求助，第二型曲线积分，我算出来和答案差1/2不理解

Answer 1

你这个问题是新手很容易出的问题，主要在于什么时候能够把积分曲线（面）的式子代入到被积函数里面。

1. 先说问题，这个题目不能用R²替换原来的被积函数里的x²+y²，因为积分区域是个平面，而x²+y²=R²只有在圆周那一条线上的时候才能取得等号，剩下的地方都取不到R。

2. 正确的做法：记x=rcosΘ，y=rsinΘ，r的取值是0到R，而Θ的取值是从-π到0（因为是下半圆周），因为积分曲面是面上的圆面，和z没有关系，所以其实就是转化成了二重积分。最后结果是1/4πR^4，而不是直接带入的1/2πR^4。

3. 说明注意情况：面积分的时候，积分区域表达式只是外轮廓的方程，因此不能代入到被积函数中；线积分的时候，积分区域表达式就是积分所有的区域，因此可以随便代入。

不懂可以追问。。。

Answer 2