Question

已知一三棱锥对棱相等，棱长分别为2，3，4。求该三棱锥外接球体积。

Answer 1

构造一个长方体 ABCD-A'B'C'D' ，使得 AC = 2 ，AB' = 3 ，AD' = 4 ；
则三棱锥 AB'CD' 正好满足对棱相等，棱长分别为 2，3，4 ；
该三棱锥的外接球即长方体的外接球；

由勾股定理可得：
AB²+AD² = AB²+BC² = AC² = 4 ，
AB²+AA'² = AB'² = 9 ，
AD²+AA'² = AD'² = 16 ，
三式相加除以2，可得：AB²+AD²+AA'² = 29/2 ；

长方体外接球的直径，即对角线的长为 √(29/2) = (1/2)√58 ；
该三棱锥外接球的半径为 R = (1/2)×(1/2)√58 = (1/4)√58 ；
该三棱锥外接球的体积为 (4/3)πR³ = [(29/24)√58]π 。