对数函数的定义域,值域是怎么求的
对数函数的一般形式是y=loga x,定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1。
如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
对数函数y=logax,如果x是一个函数,还需要考虑:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)指数、对数的底数大于0,且不等于1。
(4)y=tanx中x≠kπ+π/2。
对数函数的值域是函数y=f(x)中y的取值范围。例如:
求y=log2(4-x²)的值域。
对数是递增的,真数4-x²≦4,所以:y=log2(4-x²)≦log2(4)=2,即值域为(-∞,2]。求值域要先考虑真数的取值范围。
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对数的历史来源:
16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。
欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的纳皮尔算筹,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。
他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理。
对数函数的一般形式是y=loga x,定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1。
如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
对数函数y=logax,如果x是一个函数,还需要考虑:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。
(3)指数、对数的底数大于0,且不等于1。
(4)y=tanx中x≠kπ+π/2。
对数函数的值域是函数y=f(x)中y的取值范围。例如:
求y=log2(4-x²)的值域。
对数是递增的,真数4-x²≦4,所以:y=log2(4-x²)≦log2(4)=2,即值域为(-∞,2]。求值域要先考虑真数的取值范围。
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对数函数的性质:
1、定点:对数函数的函数图像恒过定点(1,0)
2、单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数
3、0<a<1时,在定义域上为单调减函数
4、奇偶性:非奇非偶函数
5、周期性:不是周期函数
对数函数满足对数的运算法则:
1、log(a) (M·N)=log(a) M+log(a) N
2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
3、log(a) M^n=nlog(a) M
4、log(a)b*log(b)a=1
5、log(a) b=log (c) b÷log (c) a
对数函数的定义域和值域的求解方法如下:
① 对数函数的定义域:
对数函数的定义域取决于其底数和实数指数的要求。一般来说,对数函数的定义域为正实数集合 R+,即所有大于零的实数。
② 对数函数的值域:
对数函数以及其特殊情况下的值域如下:
- 对于以底数 a(a>0,且 a≠1)表示的一般对数函数 logₐ(x),其中 x>0,其值域为实数集合 R。
- 对于以底数 e(自然对数)表示的自然对数函数 ln(x),其中 x>0,其值域也为实数集合 R。
③ 知识点例题讲解:
例题1:求对数函数 f(x) = log₂(x) 的定义域和值域。
解答:
对数函数的底数为 2,根据定义域的要求,x 必须大于零,所以定义域为 x>0。
对于值域,由于底数为 2,对数函数的值域为实数集合 R。
综上所述,对数函数 f(x) = log₂(x) 的定义域为 x>0,值域为实数集合 R。
例题2:求自然对数函数 f(x) = ln(x) 的定义域和值域。
解答:
自然对数函数的底数为 e(自然常数),根据定义域的要求,x 必须大于零,所以定义域为 x>0。
对于值域,由于底数为 e,自然对数函数的值域为实数集合 R。
综上所述,自然对数函数 f(x) = ln(x) 的定义域为 x>0,值域为实数集合 R。
以上是对数函数的定义域和值域的求解方法和例题讲解。
① 对数函数的定义域:
对数函数的定义域取决于其底数和实数指数的要求。一般来说,对数函数的定义域为正实数集合 R+,即所有大于零的实数。
② 对数函数的值域:
对数函数以及其特殊情况下的值域如下:
- 对于以底数 a(a>0,且 a≠1)表示的一般对数函数 logₐ(x),其中 x>0,其值域为实数集合 R。
- 对于以底数 e(自然对数)表示的自然对数函数 ln(x),其中 x>0,其值域也为实数集合 R。
③ 知识点例题讲解:
例题1:求对数函数 f(x) = log₂(x) 的定义域和值域。
解答:
对数函数的底数为 2,根据定义域的要求,x 必须大于零,所以定义域为 x>0。
对于值域,由于底数为 2,对数函数的值域为实数集合 R。
综上所述,对数函数 f(x) = log₂(x) 的定义域为 x>0,值域为实数集合 R。
例题2:求自然对数函数 f(x) = ln(x) 的定义域和值域。
解答:
自然对数函数的底数为 e(自然常数),根据定义域的要求,x 必须大于零,所以定义域为 x>0。
对于值域,由于底数为 e,自然对数函数的值域为实数集合 R。
综上所述,自然对数函数 f(x) = ln(x) 的定义域为 x>0,值域为实数集合 R。
以上是对数函数的定义域和值域的求解方法和例题讲解。
对数函数的一般形式为 y = logₐ(x),其中 a 是底数,x 是函数的自变量,y 是函数的因变量。
1. 定义域:
对数函数的定义域是指函数可以接受的自变量的取值范围。对数函数中,底数必须大于 0 且不等于 1,而自变量 x 必须大于 0。因此,对数函数的定义域可以表示为 x > 0。
2. 值域:
值域是指函数可能取得的因变量的值的范围。对数函数的值域取决于底数和定义域。当底数 a 大于 1 时,对数函数可以取任何实数值作为结果,即值域为实数集 (-∞, +∞)。当底数 0 < a < 1 时,对数函数的值域为 (-∞, 0)。
需要注意的是,底数为 1 的对数函数是不存在的,因为对数函数的定义要求底数不能等于 1。
综上所述,对数函数的定义域为 x > 0,值域取决于底数的大小,当底数大于 1 时值域为实数集 (-∞, +∞),当底数在 0 和 1 之间时值域为 (-∞, 0)。