Question

已知函数f(x)=ax+a/x+b(a，b∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为3，

若f(x)>x在(1，+ ∞)上恒成立，则a的取值范围是?

A.(0，1] B.[1，9/8] C.(9/8，+ ∞) D.[1，+ ∞)

Answer 1

f(1)=2a+b
f `(x)=a-a/x^2; f `(1)=0; 所以图象在点(1,f(1))处的切线为： y=f(1)=2a+b=3
b=3-2a
若f(x)>x在(1，+ ∞)上恒成立即：f(x)-x>0在(1，+ ∞)上恒成立;
g(x)=f(x)-x=(a-1)x+a/x+3-2a,g `(x)=a-1-a/x^2
a<=1; g `(x)<0,g(x)在(1，+ ∞)上是减函数，显然不适合；

a>1时，g `(x)=0 得：x=√a/a-1;
x>√a/a-1;g `(x)>0;
0<x<√a/a-1;g `(x)<0
所以g(x)min=g(√a/a-1)>0即可
即：(a-1)√(a/a-1)+a/√(a/a-1)+3-2a>0
2√[a(a-1)]>2a-3
4a^2-4a>4a^2-12a+9; a>9/8

追问

答案是D

追答

对不起；我的运算有错；
a1, 00不会恒成立；

把a=1代入：g(x)=1/x+1>0在（1，+∞） 上恒成立；符合条件；
a>1时，g `(x)=0 得：x=√a/a-1;
x>√a/a-1;g `(x)>0;
10即可
即：(a-1)√(a/a-1)+a/√(a/a-1)+3-2a>0
2√[a(a-1)]>2a-3

（1）当13/2时，平方得：4a^2-4a>4a^2-12a+9
即：a>9/8; 结合前提条件a>=3/2知：a>=3/2时符合题意；
综上可知：a的取值范围是：[1,+∞), 选D。