Question

该不等式对X属于（0，1/2）恒成立，求a的取值范围

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Answer 1

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Answer 2

[[1]]
易知,a＞0,且a≠1
当x∈(0,1/2)时,
易知,恒有x²+x＞0.
又logax=(lnx)/(lna).(换底公式)
此时lnx＜0.结合题设
0＜x²+x＜logax=(lnx)/(lna)
可知,lna＜0
∴应有0＜a＜1.
[[2]]
构造函数f(x)=x²+x,g(x)=-logax.h(x)=f(x)+g(x).(0＜x＜1/2)
易知,在区间(0,1/2)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,
∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1/2)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,1/2)上恒有h(x)＜0.
∴必有h(1/2)≤0.
即有(1/4)+(1/2)-loga(1/2)≤0.
整理就是(3/4)≤(ln1/2)/lna
lna≥(4/3)ln(1/2)=ln[(1/2)^(4/3)]
∴(1/2)^(4/3)≤a＜1