Question

设a、b、c是不全相等的任意实数,若x=a^2-bc,y=b^2-ca,z=c^2-ab，求证：x,y,z中至少有一个大于零

用反证法做

Answer 1

证明：
假设结论不成立
则 x,y,z都小于等于0
所以 x+y+z≤0 （1）
x+y+z=a²-bc+b²-ac+c²-ab
=(a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+a²-2ac)/2
=[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]/2
因为 a,b,c不全相等
所以 x+y+z>0 (2)
（1）（2）矛盾，
所以，假设不成立。
所以 x,y,z中至少有一个大于零

Answer 2

证明：
假设结论不成立
则 x,y,z都小于等于0
∴ x+y+z≤0 （1）
x+y+z=a²-bc+b²-ac+c²-ab
=(a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+c²+a²-2ac)/2
=[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]/2
∵ a,b,c不全相等
∴ x+y+z>0 (2)
∵（1）（2）矛盾，
∴，假设不成立，所求证的结论成立。