Question

a1=1,an=a(n-1)+1/[(an)-1](n＞=2)求通项公式an

Answer 1

我认为此数列没有通项公式，因为假使给定一个a(n-1)，总有两个an与之对应（有时可能会舍去一个）。
就以a2，a3来说。
a2满足方程a2=a1+1/（a2﹣1），将a1=1代入，得x=1+1/（x﹣1），其中x即为a2
解之得：x1=0，x2=2。而这两个根都符合题意，不可舍去，因此a2有两种取值，为0或2
再看a3的值。
a3=a2+1/（a3﹣1）。若a2=0，则y=0+1/（y﹣1），解得y1=½（1+√5），y2=½（1﹣√5）
若a2=2，则y=2+1/（y﹣1），解得y3=½（3+√5），y4=½（3﹣√5）
而这四个取值也都符合题意。
以此类推，a4、a5、a6……会有越来越多的取值，而每一个取值都与前一项的值有关，因此此题必须有更多的限定条件才可以有解。