Question

设a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=2,a³+b³+c³=3,求abc的值，和a^4+b^4+c^4的值

Answer 1

解：∵a+b+c=1,a²+b²+c²=2
∴（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2（ab+bc+ac），
即1=2+2（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ac=-1/2，则-ab-ac-bc=1/2
又∵a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc），
即3-3abc=1×（2+1/2）∴abc=1/6；
∵（a+b+c）（a^3+b^3+c^3）
=a^4+b^4+c^4+ab^3+ba^3+ac^3+ca^3+bc^3+cb^3
=a^4+b^4+c^4+2（ab+bc+ac）-abc（a+b+c），
即：1×3=a^4+b^4+c^4+2×（-1/2）-1/6×1，
∴ a^4+b^4+c^4=25/6．

Answer 2

：∵a+b+c=1,a²+b²+c²=2
∴（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2（ab+bc+ac），
即1=2+2（ab+bc+ac），
∴ab+bc+ac=-1/2，则-ab-ac-bc=1/2
又∵a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc），
即3-3abc=1×（2+1/2）∴abc=1/6；
∵（a+b+c）（a^3+b^3+c^3）
=a^4+b^4+c^4+ab^3+ba^3+ac^3+ca^3+bc^3+cb^3
=a^4+b^4+c^4+2（ab+bc+ac）-abc（a+b+c），
即：1×3=a^4+b^4+c^4+2×（-1/2）-1/6×1，
∴ a^4+b^4+c^4=25/6．