Question

已知函数f(x)=ax^2-x-lnx,(1)求函数f(x)的单调区间，（2)证明：（x-1)（x^2lnx-f(x)>0恒成立

Answer 1

已知函数f(x)=ax^2-x-lnx,(1)求函数f(x)的单调区间，（2)证明：（x-1)（x^2lnx-f(x)>0恒成立
(1)解析：∵函数f(x)=ax^2-x-lnx，其定义域为x>0
当a=0时，f(x)=-x-lnx==> f’(x)=-1-1/x<0
∴函数f(x)在定义域内单调减；
当a>0时，令f’(x)=2ax-1-1/x=(2ax^2-x-1)/x=0
X1=[1-√(8a^2+1)]/(4a)<0(舍)，X2=[1+√(8a^2+1)]/(4a)
f’’(x)=2a+1/x^2>0
∴函数f(x)在x2处取极小值；
∴即x∈(0,x2)，函数f(x)单调减；x∈[x2,+∞)，函数f(x)单调增；
当a<0时，f’(x)=2ax-1-1/x<0
∴函数f(x)在定义域内单调减；

(2) 当a取不同的值时，通过画函数f(x)=(x-1)(x^2lnx-f(x))图像验证f(x)>0
恒成立，不成立
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Answer 2

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