Question

设f(x)是二次函数，其图像过点（0，1），且f’(1)=2, ∫1 0 f(x)dx=0（f(x)

设f(x)是二次函数，其图像过点（0，1），且f’(1)=2, ∫1 0 f(x)dx=0（f(x)0~1的定积分）,求f(x)的解析式

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c(a<>0)，f'(x)=2ax+b，F(x)=∫(x,0) f(x)dx=ax^3/3+ax^2/2+cx，则
f(0)=c=1，f'(1)=2a+b=2，F(1)-F(0)=a/3+b/2+c=0。
由以上三式解得：a=3、b=-4、c=1。
f(x)=3x^2-4x+1。

Answer 2

设 f(x)=ax^2+bx+c ，则
f(0)=c=1 ， （1）
f '(1)=2a+b=2 ， （2）
∫[0，1] (ax^2+bx+c)dx=a/3*x^3+bx^2/2+cx|[0，1]=a/3+b/2+c=0 ， （3）
解得 a=3 ，b=-4 ，c=1 ，
因此 f(x)=3x^2-4x+1 。