Question

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，f（2）=1/2，f丶（x）是f（x）

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数，f（2）=1/2，f丶（x）是f（x）的导函数，若对任意x∈R，使f丶（x）＜e^x成立，则不等式f（x）＜e^x-1/2(e=2.718……)的解集为？
答案是（0，正无穷）

Answer 1

已知函数f（1+x）是定义域为R的偶函数
所以f(x+1)的对称轴是x=0，f（x）是有f(x+1)向右平移1单位的到的
所以f（x）的对称轴为x=1
f‘（x+1）=f'（x）*（x+1）‘=f'（x）＜e^x成立
令g（x）=f（x）-e^x+1/2
g’（x）=f'（x）-e^x＜0恒成立
g（x）在R上单调递减
又因为f（x）的对称轴为x=1
所以f(0)=f(2)=1/2
因为g(0)=0
所以当x＞0时
g（x）＜0
即f（x）＜e^x-1/2的解集为（0，正无穷）。