Question

已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在X轴正半轴上，过F的直线L于抛物线交于A ,B俩点且满足相量OA*相量...

已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在X轴正半轴上，过F的直线L于抛物线交于A ,B俩点且满足相量OA*相量OB=-3 1求抛物线的方程 2 在X轴负半轴上一点M(m,0)使得角AMB是锐角求m的取值范围
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Answer 1

y²=2px 与过焦点的直线方程 ty=x-p/2 联立,消去y,得 x²-(2pt²+2)x+p²/4=0 (1), 消去x得:
y²-2pty-p²=0 (2), 由韦达定理 得出 x1+x2=2pt²+2, x1*x2=p²/4, y1*y2=-p².
已知向量OA*向量OB=X1*X2+Y1*Y2=P²/4 +(-P²)=-3,所以 p²=4, p=2.所以
抛物线方程为 y²=4x .
由上面结论 x1+x2=4t²+2, x1*x2=1, y1*y2=-4. 因角AMB 为锐角,即 向量MA*向量MB>0.
(x1-m, y1)(x2-m, y2)>0. 展开有 x1*x2- m(x1+x2)+m²+y1*y2>0 ,将上述结果代入得:
1-m(4t²+2)+m²+(-4)>0, 化为 4t²+2>(m²- 3) /m, (注意m<0) 左式当t=0时取最小值2,
只需解 2>(m²- 3) /m, 即m²-2m-3>0 ,解得
m<-1 或 m>3.