Question

怎么算半圆重心的位置？

怎么算半圆重心的位置？用微积分的方法，谢谢

Answer 1

用巴普斯定理求，首先半圆的重心在垂直于半圆的直径的那条半径上是不用怀疑的了,然后,设重心距离圆心距离为x,那么,将半圆绕半径转一周,得到一个球,那么有：2πx×1/2πr^2=4/3πr^3 解得 x=4r/3π

巴普斯定理内容：一个平面物体,质量均匀分布,令其上各质点沿垂直于平面的方向运动,在空间扫过一立体体积,则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程.。物体是有外形、有大小，有质量的，是有质量分布的。很多力学问题需要简化模式，所以用质点代替物体，它是一个点模式，但有物体的质量，如果要力学效果也能等效的话，那么这个质点必须在物体质心上，当在地球重力作用下，这个点（质心所在位置）就叫重心。

Answer 2

用巴普斯定理求,很简单,首先半圆的重心在垂直于半圆的直径的那条半径上是不用怀疑的了,然后,设重心距离圆心距离为x,那么,将半圆绕半径转一周,得到一个球,那么有：2πx×1/2πr^2=4/3πr^3 解得 x=4r/3π
巴普斯定理内容：一个平面物体,质量均匀分布,令其上各质点沿垂直于平面的方向运动,在空间扫过一立体体积,则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程.

Answer 3

半径上,距离球心为4R/3π

先考虑另一个问题：一个锐角为30度的直角三角形，绕A点旋转。何种情况下，旋转体的体积最大？如果一个物体的密度固定，那么体积越大，它的质量也越大。假设三角板是一块薄板，其质量可以简化为一个质点，比作一枚硬币。在桌上摆出，可以发现（显而易见），硬币越多，围成的圆的半径越大。题目相反，要总质量越大，就应尽可能增加质点围成的圆的半径。因此可以得到，当质点与旋转轴垂直时，旋转体体积最大。
根据上题发现，就可以简便方法求半径为R的半圆的质心X。一样的道理，一个实心的球可以看作是半圆旋转而成（准确的说是多插入N块相同的半圆围成球）。半圆的面质量是（p为密度）p*pai*r*r/2，通过质心法得到的球的质量为2*x*pai* p*pai*r*r/2；
另外通过普通办法p*pai*r*r*r*4/3也是球的质量。质量相等，则
2*x*pai* p*pai*r*r/2＝p*pai*r*r*r*4/3
x* pai＝r*4/3
X＝4R/3pai