Question

如图,已知三角形ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,连结AP。求证; AC^2=AP^2+CP×BP

Answer 1

楼上做得不完美
证明：
作AD⊥BC于D
∵AB=AC
∴BD=CD
设P在BD间，则BD=PB+PD，PC=CD+PD=BD+PD=PB+2PD
根据勾股定理
AP²=AD²+PD²
AC²=AB²=BD²+AD²=（PB+PD）²+AD²=PB²+2PB·PD+PD²+AD²
=PB（PB+2PD）+AP²
=PB×PC+AP²

Answer 2

设O为BC中点，链接AO
∵AB²=AC²=（BP+PO）²+AO²=（CP-PO）+AO²
∴BP+PO=CP-PO
PO=（CP-BP）/2
又∵AP²=PO²+AO²
∴AC²=【BP+（CP-BP）/2】²+AP²-【（CP-BP）/2】²
AC²=AP²+BP×CP