Question

求函数f(x)=X5+5X4+5X3+1在区间{-1,4]上的最大值与最小值

Answer 1

f'(x)=5x^4+20x^3+15x^2=0
5x^2(x^2+4x+3)=0
5x^2(x+1)(x+3)=0
x1=0, x2=-1, x3=-3
-1<x<0时，f'(x)>0
0<x<4时，f'(x)>0
故函数在［－1，4］上是单调增函数，故最大值＝f(4)=4^5+5*4^4+5*4^3+1＝2625
最小值是f(-1)=-1+5-5+1=0

追问

0为什么不是一个极值点呢 我不明白 是因为x的平方所以序轴标根时要过两次么

追答

0　不是一个极值点，因为在X＞0和X＜0时都有f'(x)>0,所以X＝0不是极值点．
x的平方序轴标根时要穿而不过．

追问

那在写fx的单调性时是写-1到0 0到正无穷 单调递增么 0是因为有两个所以才穿而不过么

追答

是的．

Answer 2

f(x)=X5+5X4+5X3+1
f'(x)=5x^4+20x^3+15x^2
令f'(x)=0
5x^2(x^2+4x+3)=0
x=0 x=-1 x=-3
f(-1)=-1+5-5+1=0
f(0)=1
f(4)=1024+1280+320+1=2605
最大值2605与最小值0

追问

是2625 我明白这些 只是在求导之后有一个x的平方 若使导数为0 则 有一个根为0 在序轴标根时是0要过两次么

追答

这个不用考虑
只需求出自此区间上的极值点和端点的值比较大小即可
f(4)=1024+1280+320+1=2625
最大值2625与最小值0

追问

如果要是列表的话就要考虑了啊 我就是不明白这个0所以才想问问

追答

列表涉及到穿根，考虑极值点左右的符号就行了

追问

是啊 可是如果不考虑0过两次也就考虑不出周围的符号

追答

你在列表时，不用列两个0，只要一个就行了，是不是

Answer 3

y'=5x^4+20x^3+15x^2=5x^2(x+1)(x+3)
y'=0,则x=0,-1,-3
x=0的领域y'>0，所以f(0)不是极值点
f(-1)=0,f(-3)=-243+405-135+1=28,f(4)=1024+1280+320+1=2304
所以fmax=f(4)=2304,fmin=f(-1)=0

追问

x=0的导数应为0啊 为什么不是一个极值点呢

追答

f(-1)=0,f(-3)=-243+405-135+1=28,f(4)=1024+1280+320+1=2625
所以fmax=f(4)=2625,fmin=f(-1)=0
y'在（-1，4）恒大于0，即f递增

Answer 4

先提出一个X3，然后再求导数