Question

如图,直线y=1/2x+2与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=1/2x2+bx+c与直线交于点A，E两点，若B（1，0）

（1）求抛物线的函数解析式
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标
（3）点Q为抛物线上动点，使得△AEQ 的面积等于△ABD面积的2倍，求Q点坐标
求详细过程，谢谢！

Answer 1

（1）由题抛物线过A(0，2)、B(1，0)可知：
c=2
(1/2)+b+c=0 ；b=-3/2
抛物线的函数解析式：y=(½)x²-(3/2)x+2
（2）由（1）求出解析式和直线y=1/2x+2，解得E(4，4)。
当∠EAP=90º时，AP²+AE²=EP²
AP²=2²+OP²；EP²=4²+(4-OP)²；AE²=2²+4²=20
2²+OP²+20=4²+(4-OP)²
解得：OP==1，即P(1，0)
同理可解得∠AEP=90º时，P(6，0)
∠ACE=90º时，P点不存在，
综上P(1，0)或P(6，0)
（3）由题可知D(-4，0)
S△ABD=(½)|OD|×|OA|=4
令：Q(x，y)
点Q到直线AE的距离是△AEQ以AE为底的高
其高为：|(-1/2)x+y-2|/(√(-1/2)²+1²)=(2√5/5)|(-1/2)x+y-2|
S△AEQ=(½)|AE|×(2√5/5)×|(-1/2)x+y-2|
=|-x+2y-4|
由题可得以下方程组：
|-x+2y-4|=8
y=(½)x²-(3/2)x+2
解得：Q₁(2-2√2，7-√2)、Q₂(2+2√2，7+2√2)