Question

如图,双曲线y=k/x(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,.若梯形ODBC的面积为3

（1）D为AB的中点吗？为什么？
（2）求双曲线的解析式
（3）若P为双曲线上的一动点，求OP的最小值

Answer 1

1）是中点。因为图像关于直线 y=x 对称。
2）设正方形的边长为 2a ，则E(a，2a)，D(2a，a)。
所以 SODBC=(a+2a)*2a/2=3 ，解得 a=1 ，
因此，由 k=xy=a*2a=2 得双曲线解析式为 y=2/x 。
3）设P(x，y) ，则 xy=2 ，
因为 |OP|^2=x^2+y^2>=2xy=4 ，
所以 |OP| 最小值为 2 。当P坐标为（√2，√2）时达最小。

Answer 2

解：设C（c，0），则B（c，b），E（c，b2），
∴S△AOD=S△OEC=12×c×b2，
∵梯形ODBC的面积为3，
∴bc-12×c×b2=3，
∴bc=4，
∴S△AOD=S△OEC=1，
设此反比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵反比例函数的图象过E点，∴b2=kc，∴k=bc2=2，
∴此反比例函数的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．