Question

在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F （1）若AE=AD请证明：CD =AF+BE

若AE:AD=a:b试探究线段CD AF BE 之间所满足的等量关系，请写出你的结论并证明

Answer 1

(1)
证明：作AG平分∠BAD交BC于G点，交DF于O点
得三角形ABG是等腰三角形，则 AB=BG ①
从而∠DAG+∠ADF=1/2*(∠BAD+∠ADC)=1/2*180度=90度
∴AG⊥DF
∵AE⊥BC，AD//BC
　　　 ∴AE⊥AD
从而在直角三角形AOF与直角三角形AOD中∠FAO=∠ADO
∵tan∠FAO=EG/AE, tan∠ADO=AF/AD
∴EG/AE= AF/AD ②
∵AE=AD　③
∴由②③得 EG=AF ④
又由①知 AB=BG
从而CD =AB=BG=BE+EG ⑤
将④代入⑤得 CD=BE+AF
则CD =AF+BE

(2)
解：线段CD AF BE 之间所满足的等量关系是 b*CD=a*AF+b*BE
由(1)中的② 得EG/AE= AF/AD
∵AE:AD=a:b
∴AE:AD=EG:AF= a:b ⑤
∵EG=BG-BE=AB-BE=CD-BE⑥
∴将⑥代入⑤得 ( CD-BE):AF=a:b
从而 b*( CD-BE)=a*AF
∴b*CD=a*AF+b*BE

Answer 2

楼上（1）中辅助线是作AG平分∠BAD交BC的延长线于G点，交DF于O点