Question

设函数f(x)=x^2+|x-a|+1x∈R求函数f(x)的最小值

Answer 1

这是一个含参数的分段函数求最值的问题，有点麻烦。
　　首先，去绝对值，将f(x)=x^2+|x-a|+1表示成分段函数。
┌x^2+x-a+1，x∈[a，+∞)
f(x)=│
└x^2-x+a+1，x∈(－∞，a)

　　然后，讨论a的取值与函数的两段图像对称轴之间的大小关系，判断函数在区间[a，+∞) 和 (－∞，a) 上的单调性，进而求出最值。
f(x)=x^2+x-a+1，x∈[a，+∞)的对称轴为直线x=－1/2， f(x)=x^2-x+a+1，x∈(－∞，a) 的对称轴为直线x=1/2.
①当a≤－1/2时，一方面，－1/2∈[a，+∞)，∴f(x)在x∈[a，+∞)的最小值为f(－1/2)=3/4－a；
另一方面，a≤－1/2<1/2，区间(－∞，a)在对称轴x=1/2的左边，f(x)在区间(－∞，a)上是减函数，∴f(x)>f(a)=a^2+1
　　　又f(a)－f(－1/2)=a^2+1－3/4+a=(a+1/2)^2≥0，
∴当a≤－1/2时，f(x)的最小值为f(－1/2)=3/4－a。
②当－1/2<a<1/2时，一方面，区间　[a，+∞)在对称轴x=－1/2的右边，f(x)在区间[a，+∞)上是增函数，∴最小值为f(a)=a^2+1；另一方面，区间(－∞，a)在对称轴x=1/2的左边，f(x)在区间(－∞，a)上是减函数，∴f(x)>f(a)=a^2+1
　　∴当－1/2<a<1/2时，f(x)的最小值为f(a)=a^2+1.
③当a≥1/2时，一方面，区间　[a，+∞)在在对称轴x=－1/2的右边，f(x)在区间[a，+∞)上是增函数，∴最小值为f(a)=a^2+1；另一方面，另一方面，1/2∈(－∞，a)，∴f(x)在x∈(－∞，a)上的最小值为f(1/2)=3/4+a。
∵f(a)－f(1/2)=a^2+1－3/4－a=(a－1/2)^2≥0，
∴当a≥1/2时，f(x)的最小值为f(1/2)=3/4+a。