Question

高等数学可降阶的高阶微分方程和二阶常系数齐次方程区别

高等数学可降阶的高阶微分方程和二阶常系数齐次方程区别我看题型差不多，为什么二阶线性用特征方程，那可降阶可不可以用呀，老是分不清哪个用哪个

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Answer 1

可降阶不一定满足常系数。例如
xy'' + y' = 0, 设 p = y' 化为 xdp/dx = -p
dp/p = -dx/x, lnp = -lnx + lnC1, p = y' = C1/x,
y = C1ln|x| + C2. 此例就不能用特征值法解。
你给的第一 题 3 小题，因系常系数，即可用特征值法解，也可用降阶法解。
第二 题 1 小题，可用特征值法解。

Answer 2

可降阶不一定满足常系数。例如
xy'' + y' = 0, 设 p = y' 化为 xdp/dx = -p
dp/p = -dx/x, lnp = -lnx + lnC1, p = y' = C1/x,
y = C1ln|x| + C2. 此例就不能用特征值法解。
你给的第一 题 3 小题，因系常系数，即可用特征值法解，也可用降阶法解。
第二 题 1 小题，可用特征值法解。