Question

设函数f(x)在区间[0,1]上有连续导数, f(0)=1, 且满足 ∫ ∫ Dt f'(x+y)dxdy= ∫ ∫ Dt f(t)dxdy

设函数f(x)在区间[0,1]上有连续导数, f(0)=1, 且满足 ∫ ∫ Dt f'(x+y)dxdy= ∫ ∫ Dt f(t)dxdy,其中Dt={(x,y)|0<=y<=t-x,0<=x<=t}, (0<t<=1) 求f(x)表达式

Answer 1

表达式右边是对x，y的积分，被积函数是常数，积分值＝f(t)t^2/2。其中t^/2是Dt的面积。左边化为累次积分：积分（从0到t）dx积分（从0到t－x）f'(x+y)dt。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

映射定义设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射（Mapping）。

概念：

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

Answer 2

不知道你写得有没有错误？
表达式右边是对x，y的积分，被积函数是常数，积分值＝f(t)t^2/2。其中t^/2是Dt的面积。
左边化为累次积分：积分（从0到t）dx积分（从0到t－x）f'(x+y)dt
=积分（从0到t）dx【f(x+y)|上限y＝t－x下限y＝0】
＝积分（从0到t）【f(t)－f(x)】dx＝积分（从0到t）f(t)dx－积分（从0到t）f(x)dx
=tf(t)－积分（从0到t）f(x)dx，因此得到方程
积分（从0到t）f(x)dx=tf(t)－t^2f(t)/2，求导得
(1－t/2)f'(t)=f(t)，或者【(1－t/2)^2*f(t)】'＝(1－t/2)*【(1－t/2)f'(t)－f(t)】＝0，故恒有
(1－t/2)^2*f(t)＝f(0)=0，即f(t)=0。