Question

如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．

如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

解答：连接BD
∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD，AC、BD互相平分

∵O为AC中点

∴BD也过O点

∴OB=OC

∵∠COB=60°，OB=OC

∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°

∵FO=FC，BF=BF

∴△OBF≌△CBF（SSS）

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称

∴FB⊥OC，OM=CM。故①正确

∵∠OBC=60°

∴∠ABO=30°

∵△OBF≌△CBF

∴∠OBM=∠CBM=30°

∴∠ABO=∠OBF

∵AB∥CD

∴∠OCF=∠OAE

∵OA=OC

可得△AOE≌△COF

∴OE=OF

则四边形EBFD是平行四边形

又可知OB⊥EF

∴四边形EBFD是菱形。故③正确

∴△EOB≌△FOB≌△FCB。则②△EOB≌△CMB错误

∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°

∴MB=√3，OF=（2/√3）OM

∵OE=OM

∴MB：OE=3：2。则④正确

故选C。