Question

成等差数列的三个数的和为15，并且这三个数分别加上1，3，9又成等比数列了，求这三个数。

若这三个数成等比，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差，求这三个数
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Answer 1

第一个问题：等差数列和为15，说明中间那个数是5，然后加上几个数成等比，分别设3个数为5-x，5,5+x，加上后为6-x，8,14+x，得到（6-x）（14+x）=64，解得x=2或者-10
所以3个数为3,5,7或者15,5，-5.
第二个问题：等比数列积为512，说明中间那个是8，设3个数为8/x，8,8x，根据第二个条件有：
8/x-2+8x-2=16，解得x=1/2或者2，所以3个数是4,8,16或者16,8,4

Answer 2

设成等差数列的三个数依次为a1、a2、a3
2a2=a1+a3
a1+a2+a3=3a2=15
a2=5
a1=a2-d=5-d a3=a2+d=5+d a1+1=5-d+1=6-d a2+3=5+3=8 a3+9=5+d+9=d+14
a1+1、a2+3、a3+9成等比数列
(a2+3)²=(a1+1)(a3+9)
(6-d)(d+14)=64
整理，得
d²+8d-20=0
(d-2)(d+10)=0
d=2或d=-10
d=2时，a1=a2-d=5-2=3 a3=a2+d=5+2=7，这三个数依次为3、5、7
d=-10时，a1=a2-d=5-(-10)=15 a3=a2+d=5-10=-5，这三个数依次为15、5、-5。

设成等比数列的三个数依次为a1、a2、a3
a2²=a1a3
a1a2a3=a2³=512 a2=8 a1=a2/q=8/q a3=8q
a1-2、a2、a3-2成等差
(8/q-2)+(8q-2)=8×2
整理，得
2q^2-5q+2=0
(q-2)(2q-1)=0
q=2或q=1/2
q=2时，a1=8/2=4 a3=8×2=16，这三个数依次为4、8、16
q=1/2时，a1=8/(1/2)=16 a3=8×(1/2)=4，这三个数依次为16、8、4

Answer 3

15除以3得5，三个数是3,5,7.

512开立方得8，三个数是4,8,16