Question

为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢

Answer 1

你写错了，对称阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的。证明见下图。一般的矩阵这一结论不成立。

Answer 2

命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的。证明如下：

设λ1，λ2是两个A的不同特征值，α1, α2分别是其对应的特征向量，有

A * α1 = λ1 * α1, A * α2 = λ2 *α2

分别取转置，并分别两边右乘α2和α1，得

α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2, α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1

对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2

所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0，因此 α1' * α2 = 0

即 α1与α2 正交。

扩展资料：

定义Rx（t1，t2）=E{X（t1）X（t2）}为相关函数，若R=0，称正交（注意，相关函数为0，不是不相关，而是正交）。正交不仅仅描述确定函数之间的关系，也用以描述随机过程。两个随机过程X(t) Y(t)正交，即E[X(t)Y(t)]=0, 若E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]E(Y(t)]说明两者不相关。不相关和相互独立一般不等价，只有当过程为高斯过程时才成立。

参考资料来源：百度百科-正交关系