Question

指数幂部分的等价无穷小替换

老师，图片中的1.5.10那题中的指数部分，能不能直接把sinx等价替换成x？就是（1+2x）∧（3／sinx）直接变成（1+2x）∧（3／x）不清楚课堂所说的加减运算不能进行等价无穷小替换是什么意思！
是替换部分与其他部分是加减法运算关系所以不能替换（如（lim［（sinx+tanx）／x］中sinx部分与tanx部分是加法运算，所以不能直接用等价替换）
但对于f(x)的g(x)次方 g(x)与h(x)是等价无穷小
，即使f（x）的部分有加减运算，但g（x）与h（x）是等价无穷小，是否可写为f(x)的h(x)次方 如图片中的1.5.10那题

Answer 1

当为乘积时可用等价无穷小代换求极限
但是当加减时就需要先计算
举个例子
（sinx-tanx）/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x） tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x） 就是0了
还有比较特殊的情况 比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限

追问

请问，你发的解析中o1（x）那些是什么意思？看不懂o1x是什么

谢谢