Question

已知二次函数f(x)=px^2+qx+r对任意x属于R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，设向量a=（sinx,2)

b=(2sinx,1/2),c=(cos2x,1),d=(1,2)
(1)分别求向量a*向量b和向量c*向量d的取值范围
（2）当x属于【0，派】时，求不等式f（向量a*向量b）大于f（向量c*向量d）的解集

Answer 1

若二次函数的二次项系数为正，
∵二次函数f(x)对任意函数x属于R,都有f(1-x)=f(1+x)成立,
∴f(x)的图象关于直线x=1对称，
函数f(x)在区间[1，+∞）上为增函数.

又a•b=2sin²x+1≥1，
c•d=cos2x+2≥1，
∴不等式f(a•b)>f(c•d)可化为
2sin²x+1> cos2x+2,
即2-cos2x>cos2x+2，
cos2x<0，
又x∈[0，π]，
2x∈[0，2π]
∴π/2<2x<3π/2，即π/4<x<3π/4，
∴原不等式的解集为(π/4，3π/4).

若二次函数的二次项系数为负，
∵二次函数f(x)对任意函数x属于R,都有f(1-x)=f(1+x)成立,
∴f(x)的图象关于直线x=1对称，
函数f(x)在区间[1，+∞）上为减函数.

又a•b=2sin²x+1≥1，
c•d=cos2x+2≥1，
∴不等式f(a•b)>f(c•d)可化为
2sin²x+1< cos2x+2,
即2-cos2x<cos2x+2，
cos2x>0，
又x∈[0，π]，
2x∈[0，2π]
∴0≤2x<π/2，或3π/2<2x≤2π，
即0≤x<π/4，或3π/4<x≤π，
∴原不等式的解集为[0，π/4) ∪(3π/4，π].

综上，当二次函数的二次项系数为正时，不等式f(a•b)>f(c•d)的解集为(π/4，3π/4)；
当二次函数的二次项系数为负时，不等式f(a•b)>f(c•d)的解集为[0，π/4) ∪(3π/4，π].