一道初三的数学题目
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=S四边形CFGH/S四边形CMNO，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=1/3，Q为AE上一点且QF=2/3，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由 展开
分析：（1）根据折叠的条件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜边大于直角边，因而EF＞EC故EO＞EC
（2）四边形CFGH与四边形CNMO的面积可以用直角△CEF的面积，可以证明四边形CFGH与四边形CNMO的面积相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C点的坐标是（0，1），易证△EFQ是等边三角形，已知QF=就可以求出Q点的坐标，把C，Q点的坐标代入函数y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函数的解析式．
（4）过Q作y轴的垂线，已知E，Q点的坐标，可以根据三角形相似，求出OA的长，就可以求出P点的横坐标，进而求出P点的坐标．
若△PBK与△AEF相似，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐标 解：（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．
（2）m为定值，理由如下：
∵S四边形CFGH=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴m=S四边形CFGH/S四边形CMNO=1．
（3）∵CO=1，CE=1/3，QF=2/3
∴EF=EO=1-1/3=2/3=QF，
∴cos∠FEC=1/2，
∴∠FEC=60°，
∴≮FEA=（180°-60°）/2=60°=≮CEA，≮EAC=30°
∴△EFQ为等边三角形，EQ=2/3．
作QI⊥EO于I，EI=1/2EQ=1/3，IQ=√3/2EQ=√3/3，
∴IO=2/3-1/3=1/3，
∴Q点坐标为(√3/3,1/3)．
∵抛物线y=mx²+bx+c过点C（0，1），Q(√3/3,1/3)，m=1，
∴可求得，b=-√3,c=1，
∴抛物线解析式为y=x²-√3x+1．
（4）由（3），AC=√3EC=2/3√3，
当x=2/3√3时,y=(2/3√3)²-√3×2/3√3+1=1/3＜AB，
∴P点坐标为(2√3/3,1/3)，
∴BP1-1/3=2/3AO．
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①BK/2/3=2/3/2√3/3时，BK=2√3/9
∴K点坐标为(4√3/9,1)或(8√3/9,1)；
②BK/2√3/3=2/3/2/3时，BK=2√3/3，
∴K点坐标为(4√3/3,1)或（0，1）．
故直线KP与y轴交点T的坐标为(0,-5/3),(0,7/3),(0,-1/3),(0,1),．
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，RT=2√3/3×√3=2，
②当∠RTP=60°时，RT=2√3/3÷√3=2/3
∴T₁(0,7/3),T₂(0,-5/3),T₃(0,-1/3)T₄(0,1)
（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．
（2）m为定值，理由如下：
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
m=S四边形CFGH/S四边形CMNO =1
