Question

一道高中数学题目！求解、

设函数f(x)=alnx-bx^2。当b=0时，若不等式f(x)大于或等于m+x对所有的a属于[0,3/2]，x属于(1,e^2]都成立，实数m的取值范围？

Answer 1

b=0时，f(x)=alnx，
令g(x)=f(x)-x-m=alnx -x-m
要使 g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立，只须最小值 [g(x)]min≥0。

g'(x)=a/x-1，
(1)当 0≤a≤1时，由于x>1，所以 g'(a)≤0，从而 g(x)在(1，e²]是减函数，
所以 gmin=g(e²)=2a-e²-m
(2)当 1<a≤3/2时，令 g'(x)=0，x=a，
当1<x<a时，g'(x)>0，g(x)增
当a<x<e²时，g'(x)<0，g(x)减
g(1)=-1-m，g(e²)=2a-e²-m
因为g(1)>g(e²)
所以gmin=g(e²)=2a-e²-m
g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立，只须g(e²)≥0。
2a-e²-m≥0
即 m≤2a-e²，对于a∈[0,3/2］都成立
所以m≤-e²

Answer 2

b=0时，f(x)=alnx，
令g(x)=f(x)-x-m=alnx -x-m
要使 g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立，只须最小值 [g(x)]min≥0。

g'(x)=a/x-1，
(1)当 0≤a≤1时，由于x>1，所以 g'(a)≤0，从而 g(x)在(1，e²]是减函数，
所以 gmin=g(e²)=2a-e²-m
(2)当 1<a≤3/2时，令 g'(x)=0，x=a，
当1<x<a时，g'(x)>0，g(x)增
当a<x<e²时，g'(x)<0，g(x)减
g(1)=-1-m，g(e²)=2a-e²-m
因为g(1)>g(e²)
所以gmin=g(e²)=2a-e²-m
g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立，只须g(e²)≥0。
2a-e²-m≥0
即 m≤2a-e²，对于a∈[0,3/2］都成立
所以m≤-e²

Answer 3

g'(x)=a/x-1，
(1)当 0≤a≤1时，由于x>1，所以 g'(a)≤0，从而 g(x)在(1，e²]是减函数，
所以 gmin=g(e²)=2a-e²-m
(2)当 1<a≤3/2时，令 g'(x)=0，x=a，
当1<x<a时，g'(x)>0，g(x)增
当a<x<e²时，g'(x)<0，g(x)减
g(1)=-1-m，g(e²)=2a-e²-m
因为g(1)>g(e²)
所以gmin=g(e²)=2a-e²-m
g(x)≥0对于x∈(1,e²］都成立，只须g(e²)≥0。
2a-e²-m≥0
即 m≤2a-e²，对于a∈[0,3/2］都成立
所以m≤-e²