Question

写出命题“平行四边形的两个邻角的平分线互相垂直”的逆命题，判断原命题和逆命题的正假并给出证明

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逆命题是假命题：
DE、AC分别为，∠ADC和∠BCD的角平分线，DE⊥AC，但四边形ABCD不为平行四边形。

Answer 1

逆命题：一个四边形的两个邻角的平分线互相垂直，那么这个四边形式平行四边形。
原命题证明
假设存在平行四边形ABCD，∠A和∠B的平分线相交于点O，证明：OA⊥OB
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠A+∠B=180°（平行四边形邻角互补）
∵∠OAB=∠A/2，∠OBA=∠B/2
∴∠OAB+∠OBA=∠A/2+∠B/2=180/2=90
∵∠OAB+∠OBA+∠O=180°
∴∠O=90°
∴OA⊥OB
逆命题证明
假设存在四边形ABCD，∠A和∠B的平分线相交于点O，∠A和∠D的平分线相较于O1，OA⊥OB,O1A⊥O1D。证明：四边形ABCD为平行四边形。
证明：
∵……把上面的证明反过来写，写到∠A+∠B=180
∴AD∥BC
同理
AB∥CD
∴，四边形是品行四边形。

追问

逆命题：
DE、AC分别为，∠A、∠D的角平分线，且DC⊥AC，但四边形ABCD不为平行四边形。

追答

根据条件只能证明出∠A+∠D=180
也就是AB∥CD
并不能证明AC和BD的关系。
我上边证明的要改一下。因为题干中其实没有给∠A的另一个邻角的平分线。所以我的证明是错的。