Question

2010年北京市中考数学25题怎么做?

25、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为________________；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

Answer 1

解：（1） 相等 ； 15° ； 1∶3 ．
（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同．
证明：如图2，作 ∠KCA=∠BAC，
过B点作BK‖AC交CK于点K，连结DK．
∵ ∠BAC≠90，
∴ 四边形ABKC是等腰梯形．
∴ CK=AB．
∵ DC=DA，∴ ∠DCA=∠DAC．
∵ ∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3．
∴ △KCD≌△BAD．∴∠2=∠4，KD=BD．
∴KD=BD=BA=KC．
∵ BK‖AC，∴ ∠ACB=∠6．
∵ ∠KCA=2∠ACB，∴ ∠5=∠ACB．∴ ∠5=∠6．
∴ KC=KB ∴KD=BD=KB．∴ ∠KBD=60．
∵ ∠ACB=∠6=60-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120-2∠1，．
∵ ∠1+(60-∠1)+(120-2∠2)+∠2=180，
∴ ∠2=2∠1．
∴ ∠DBC与∠ABC度数的比值为 ．

Answer 2

图？