Question

已知函数y=x^3+ax^2+bx+c.若y在区间(-1,0)上单减，则a^2+b^2的取值范围是什么，求过程，可述思路

A

Answer 1

y'=3x²+2ax+b，
因为y在(-1，0)上减，
所以 3x²+2ax+b<0，对于x属于(-1，0)恒成立。
令 g(x)=3x²+2ax+b，这是一个开口向上的抛物线，
于是 g(-1)=3-2a+b≤0
g(0)=b≤0
把a,b看成两个变量，a为横轴，b为纵轴，
则 3-2a+b≤0，b≤0确定的区域为直线 3-2a+b=0的下方和a轴下方的的公共区域，
从而 a²+b²的最小值为 (0,0)到直线 3-2a+b=0 距离的平方。
因为 d=3/√5，从而 a²+b²≥9/5，取值范围为[9/5，+∞)