Question

微分方程y”=y’的通解是：

我知道数学符号表达起来麻烦。
请在可以的情况下尽可能详细一点。
我想第一步可能是这样：y’=y+c1。后面就不知道怎么解了。

Answer 1

y’=y+c1==>dy/dx=y+c1==>dy/(y+c1)=dx==>ln(y+c1)=x+c2

y+c1=c3e^(x)==>y=c3e^x-c1

λ^2-1=0

λ=±1

特解：

e^x,e^(-x)

所以通解是：

y=C1*e^x+C2*e^(-x)

(C1,C2为常数)

特点

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

Answer 2

移项得 y''-y'=0
该方程的特征方程为λ²-λ=0
解之得 λ=1 λ=0
所以该方程的一个基本解组为e^x, 1
所以该方程的通解为y=C1e^x+C2, //C1和C2均为任意常数.

y'=dy/dx,不能直接积分.积分的过程中一定有积分号和微分号∫d的存在,平时的过程中不写出来时因为省略了,但不能否定积分过程中有这个符号.
且微分号d后面一定有自变量的符号.因此根据原方程得到y'=y+C1是错误的.

Answer 3

顺你的思路解：

y’=y+c1==>dy/dx=y+c1==>dy/(y+c1)=dx==>ln(y+c1)=x+c2

y+c1=c3e^(x)==>y=c3e^x-c1