Question

梯形ABCD,AD‖BC,角abc=90度,bc=2ad,E是BC中点,连接AE,AC。点F是DC上一点，连接EF,交AC于点O

求证△AOE∽△COF
若点F是DC中点，连接BD，交AE于G，求证四边形EFDG是菱形

Answer 1

1、E是BC中点,BC=2AD,AD=EC,AD‖BC
四边形AECD是平行四边形，AE∥CD
∴∠AEF=∠CFE，又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE∽△COF
2、四边形ABED为正方形
对角线AE与BD 互相垂直平分且相等
∴DG=EG，DG⊥EG
∵EG∥DF
又EF为△BCD的中位线
∴EF∥DG，EF=DG
∴四边形EFDG不仅是菱形，而且是正方形。

Answer 2

：∵点E是BC的中点，BC=2AD
∴EC=BE=12BC=AD
又∵AD∥EC
∴四边形AECD为平行四边形
∴AE∥DC
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO
∴△AOE∽△COF
（2）证明：连接DE
∵AD∥BE ，AD=BE
∴四边形ABED是平行四边形
又∠ABE=900
∴□ABED是矩形
∴GE=GA=GB=GD=12BD=12AE
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF、GE是△CBD的两条中位线
∴EF=12BD=GD，GE=12CD=DF
又GE=GD∴EF=GD=GE=DF
则四边形EFDG是菱形