Question

如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片

如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．
（1）求点G的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的解析式；
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P，F，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1、C点和G点是关于EF轴对称，CG是EF的垂直平分线，

|CE|=2，

|FC|=|CE|=2，

E点坐标（2，4），

F点坐标（0，2）

直线EF斜率k1=(4-2）/（2-0）=1，

EF⊥CG，

CG直线斜率k2=-1/k1=-1,

G点在MN上，横坐标为3，设G（3，y0),

CG直线方程：（y-4)/x=-1，

y=-x+4,

 当x=3时，y=1,

G点坐标为（3，1），

2、EF方程为：y=x+2,

3、前面已述，CG是EF的垂直平分线，要使|PG|=|FG|，则P点与E重合，则三角形PGF是等腰三角形，此时|PG|=|FG|，

还有另一种|PF|=|PG|的情况，

P点应是FG的垂直平分线和EF的交点，

设H是FG的中点，H（3/2，3/2），

直线FG斜率=-1/3，

PH方程为：（y-3/2)/(x-3/2)=3,

经整理PH方程：3x-y-3=0,

二直线交点P（5/2，9/2），9/2>4,已经处于正方形之上，

若直线EF，包括其延长线，则即为所求，

若是指EF线段，则第二种情况不存在，

只有P和E重合一种情况，三角形PFG是等腰三角形。

Answer 2

(1)∵ 四边形ABCO为正方形
　　　　∴ BC=OA=AB=OC=4.
　　　　∵ E为BC中点，
　　　　∴ BE=2=CE
　　　　∵ MN∥y轴　 N(3，0)
　　　　∴ MN⊥BC于M
　　　　MB=NA=1
　　　　∴ EM=1
　　　　又∵ 翻折
　　　　∴ EC=EG=2.
　　　　∴ 在Rt△EMG中，
　　　　∴∠EGM=30°
　　　　∴ G（3，4-根号3）
　　(2)在Rt△EMG中，∠EGM=30°
　　　　∴ ∠MEG=60°
　　　　又由翻折知∠FEC=∠FEG=
　　　　在Rt△CEF中，CF=CE•tan60°=
　　　　∴ E(2，4)，F(0， )
　　　　设直线EF解析式边
　　　　据题意，列
　　　　解得
　　　　∴ 折痕EF所在直线解析式为 ；
　　(3)如何讨论不重不漏？以P、F、G为顶点的等腰三角形，可分为以下几类(请大家养成讨论的一些习惯)
　　①当FG为底时，
　　　∴ 作线段FG的垂直平分线 交直线EF于P1，交FG于Q.
　　　∵∠EFG=∠CFE=30°，EG=2
　　　∴ ， ，
　　　过 作 轴于 ，则 ，
　　　
　　　∴ ；
　　　另解：∵ Q为FG中点，
　　　　　　∴ 为△EFG中位线
　　　　　　∴ 为EF中点
　　　　　　∴ ；
　　②当FG为腰时，
　　(i)以F为圆心，FG为半径画弧，交直线EF于点
　　　　
　　　　在 中， ，
　　　　
　 　　 ∴ ，它关于F的对称点
　　(ii)以G为圆心，FG为半径画弧，交直线EF于点 .
　　　　∵
　　　　∴
　　　　易知 在直线MN上，
　　　　∴
　　　　代入直线EF解析式，(或解Rt△EMP4)
　　　　 .
　　　　注意：在具体求点的坐标时采用合理的方式可使计算简化.
电脑不好使了答案没出来，不过思路是对的，希望对你有帮助。北京四中网校有详解！！

Answer 3

我只能发答案了
（1）G:(3，4-根号3)
（2）EF:y=根号3x+4-2根号3
（3）P:(负根号3,1-2根号3)
P:(1,4-根号3)
P:(根号3,7-2根号3)
P:(3,4+根号3)

Answer 4

解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠EDA+∠CDO=90°，
∵∠EDA+∠DEA=90°，
∴∠CDO=∠DEA，
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE；

（2）∵tan∠EDA=AEAD=34，
∴设AE=3t，则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=8t，
由（1）△OCD∽△ADE，得OCAD=CDDE，
∴8t4t=CD5t，
∴CD=10t，
在△DCE中，∵CD2+DE2=CE2，
∴（10t）2+（5t）2=（55）2，
解得t=1，
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴{10k+b=3b=8解得{k=-12b=8
∴y=-12x+8，则点P的坐标为（16，0）．是这道题吗？