Question

用反证法证明：若函数f(x)在【a,b】上是增函数，那么f(x)=0在区间【a，b】至多只有一个实数根

Answer 1

假设f(x)有两个及以上零点，设x1 x2是其中两个零点, 且x1<x2，
f(x1)=f(x2)=0
【a,b】上是增函数有 f(x1)<f(x2) =0
即f(x1)<0 这与f(x1)=0矛盾。
因此f(x)在区间【a，b】至多只有一个零点,。
即：f(x)=0在区间【a，b】至多只有一个实数根

Answer 2

证明：假设f(x)=0在区间【a，b】至少有两个实数根，不妨设x1、x2为其中的两个根，且x1<X2，
由于f(x)在【a,b】上是增函数，
故f(x1)<f(x2)=0，即f(x1)<0 ，与假设f(x1)=0矛盾。
故假设不成立，
因此，f(x)=0在区间【a，b】至多只有一个实数根。

Answer 3

证明：假设f(x)=0在区间【a，b】有两个实数根，在区间【a，b】肯定存在点c,使得f(a)f(C)<=0,f(b)f(c)<=0
如果f(c)<0,那f(a)>0,f(b)>0,那函数f(x)先减后增，与“函数f(x)在【a,b】上是增函数”矛盾。
如果f(c)>=0,那f(a)<0,f(b)<0,那函数f(x)先增后减，与“函数f(x)在【a,b】上是增函数”矛盾。
综上所述，若函数f(x)在【a,b】上是增函数，那么f(x)=0在区间【a，b】至多只有一个实数根。