Question

已知实数X，Y满足xy －x－y＝1，求x∧2+y∧2的最小值

Answer 1

xy-x-y=1，
所以x+y=xy-1，
可以认为x和y是方程m²-（x+y）m+xy=0的两个实数根。
所以判别式△=（x+y）²-4xy=（xy-1）²-4xy=x²y²-6xy+1=（xy-3）²-8≥0，
所以xy≥3+2√2，或xy≤3-2√2。
（x+y）²=（xy-1）²，
x²+2xy+y²=x²y²-2xy+1，
x²+y²=x²y²-4xy+1=（xy-2）²-3，
所以xy=3+2√2时，x²+y²=（3+2√2-2）²-3=6+4√2是最小值。