Question

如图,∠ABD、∠ACD的平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°，求∠P

老是讲的是不用画辅助线
求你勒

Answer 1

延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°，
∵∠AFB=∠PFC，
∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，
∵∠P+∠PBE=∠PED，∠PED=∠PCD-∠D，
∴∠P+∠PBE=∠PCD-∠D，
∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A-∠D+∠ABF+∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE，
∴2∠P=∠A-∠D
∵∠A=50°，∠D=10°，
∴∠P=20°．

Answer 2

∠P+∠PCA=∠A+∠ABP,(三角形内角和)
得∠ACP=∠ABP+∠A--∠P
又已知4边型内角和为360度
所以∠P+∠PBD+(360°-∠PCD)+∠D=360°,
消去360°得
∠PCD=∠P+∠PBD+∠D
又已知角平分线
∠ACP=∠PCD. ∠ABP=∠PBD,
有∠ABP+∠A--∠P=∠P+∠PBD+∠D
2∠P=∠A--∠D=50°--10°=40°
得∠p=20°

Answer 3

∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°，
∵∠AFB=∠PFC，
∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，
∵∠P+∠PBE=∠PED，∠PED=∠PCD-∠D，
∴∠P+∠PBE=∠PCD-∠D，
∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A-∠D+∠ABF+∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE，
∴2∠P=∠A-∠D
∵∠A=50°，∠D=10°，
∴∠P=20°．
故答案为：20°．