Question

已知函数f(x)=2x^3-x^2+ax+b若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求参数a取值范围，若函数f(x)在x=1...

已知函数f(x)=2x^3-x^2+ax+b若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求参数a取值范围，若函数f(x)在x=1处取得极值，且x属于[-1，2]时，f(x)<b^2+b恒成立，求参数b的取值范围

Answer 1

函数f(x)=2x^3-x^2+ax+b若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则f｀(x)=6x^2-2x+a=0有实数根，故Δ=4-24a≥0，所以a≤1/6；若函数f(x)在x=1处取得极值，则x=1为f｀(x)=6x^2-2x+a=0的实根，则a=-4，此时f｀(x)=6x^2-2x-4，令f｀(x)=0，得x=1或者x=-2/3，求函数值f(-1)=1+b，f(-2/3)=44/27+b，f(1)=b-3，f(2)=4+b；所以x属于[-1，2]，f(x)=2x^3-x^2-4x+b的最大值为f(2)=4+b，而f(x)<b^2+b即b^2+b>f(x)恒成立，所以b^2+b>f(2)成立，即b^2+b>b+4，解得b>2或者b<-2

Answer 2

求导得，f'(x)=6x²-2x+a ,
因为函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，所以f'(x)=6x²-2x+a=0至少有一个根。
∴Δ=（-2）²-4×6×a≥0， 解得a≤1/6.
∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=6-2+a=0,a=-4.f(x)=2x³-x²-4x+b，f'(x)=6x²-2x-4
属于[-1，2]时，f(x)<b^2+b恒成立,即f(x)=2x³-x²-4x+b＜b²+b， 2x³-x²-4x＜b²。
设g(x)=2x³-x²-4x,g'(x)=6x²-2x-4.
g'(x)=6x²-2x-4对称轴为x=1/6，x属于[-1，2]时g'(x）在[-1,1/6]上单调递减，在[1/6,2]上单调递增。g'(x）min =g'(1/6)=-25/6﹤0g'(-1)=6-2-4=0,f'(2)=16.
解g'(x)=6x²-2x-4=0得x1=1,x2= -2/3
g(x)在[-1，-2/3]上单调递增，在[-2/3,1]上单调递减,在（1,2]上单调递增.
g(-1)=6+2-4=4,g(2)=16 所以g(x) max=g(2)=16＜b²恒成立，
解b²＜16得b＜-4或b＞4

Answer 3

第一问：对函数求导且导数值=0，即6x^2-2x+a=0，有解，于是b^2-4ac》0，即2^2-4^1^a≥0，a≤1/6.
第二问：x=1极值可得a=-4,带入可得在-1~2范围内x=-2/3也是一极值，分别验算-1、2、-2/3、1处函数值，就可解除b了，自己算啦